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\documentclass[10pt]{article} 

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\usepackage{titling}
\setlength{\droptitle}{-2cm}   % This is your set screw

%%文档的题目、作者与日期
\author{学号 \underline{\hspace{4cm}} \hspace{1cm} 姓名 \underline{\hspace{4cm}} }
\title{实变函数测验 2.1-2.3 解答}
%\date{\vspace{-3ex}}
\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{2024 年 4 月 29 日}
%\date{March 9, 2021}

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\begin{document}

\maketitle

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圈出叙述错误的步骤，并加以改正。

\begin{enumerate}

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\item  %Problem 01
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个点集， $E$ 的导集 $E'$ 是 $E$ 的全体聚点组成的集合。
证明 $(A\cup B)' \subseteq A'\cup B'$. 

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  设 $P_0\in (A\cup B)'$, 即 $P_0$ 是 $A\cup B$ 的聚点。
\item  根据聚点的定义，对每个正整数 $k$, 邻域 $U(P_0,\frac{1}{k})$ 中包含 $A\cup B$ 的无穷多个点。
\item  因此这个邻域中包含 $A$ 的无穷多个点，或者包含 $B$ 的无穷多个点。
\item  对每个正整数 $k$, 都能选择 $A$ 或 $B$, 因此 $A$ 或 $B$ 被选择了无穷多次。 
\item  对 $P_0$ 的每个邻域 $U(P_0)$, 存在正整数 $k$, 使得 $U(P_0,k)\supseteq U(P_0)$. 
\item  如果 $A$ 被选择了无穷多次，那么 $P_0$ 的任意邻域里都包含 $A$ 的无穷多个点，这时 $P_0$ 是 $A$ 的聚点。
\item  如果 $B$ 被选择了无穷多次，那么 $P_0$ 的任意邻域里都包含 $B$ 的无穷多个点，这时 $P_0$ 是 $B$ 的聚点。 
\item  因为  $P_0\in A'$ 或  $P_0\in B'$,  所以 $P_0\in A'\cup B'$. 
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
5. 对 $P_0$ 的每个邻域 $U(P_0)$, 存在正整数 $k$, 使得 $U(P_0,\frac{1}{k})\subseteq U(P_0)$. 

}

\vspace{0.2cm}


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\item  %Problem 02
设 $E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=\sin\frac{1}{x},x\in\mathbb{R},x\neq 0\}$, 
求 $E$ 在 $\mathbb{R}^2$ 中的导集 $E'$, 开核 $\mathring{E}$, 闭包 $\overline{E}$ 与边界 $\partial E$. 

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  导集是聚点全体组成的集合，由图像可知，$E' = E\cup \{(0,y): 0\le y\le 1\}$. 
\item  $E$ 的开核是 $E$ 的内点全体组成的集合。本题 $E$ 中的点都不是 $\mathbb{R}^2$ 的内点。
\item  $E$ 的闭包是 $E$ 和 $E'$ 的并集。本题 $\overline{E}=E'$. 
\item  $E$ 的边界的任意邻域里既有属于 $E$ 的点，又有不属于 $E$ 的点。本题 $\partial E=E'$. 
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
1. 导集是聚点全体组成的集合，由图像可知，$E' = E\cup \{(0,y): -1\le y\le 1\}$. 

}

\vspace{0.2cm}

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\item  %Problem 03
设 $E\subseteq \mathbb{R}^n$ 是开集。证明补集 $E^c:= \mathbb{R}^n-E$ 是闭集。%设 $E$ 是闭集，则 $\mathbb{R}^n-E$ 是开集。

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  因为 $E$ 是开集，根据开集的定义，可得 $E$ 的每个点都是 $E$ 的内点。
\item  要证 $E^c$ 是闭集，根据闭集的定义，就是要证 $E^c$ 的每个聚点都在 $E^c$ 中。
\item 反证法。设有 $P$ 是 $E^c$ 的聚点，但是 $P$ 不在 $E^c$ 中。于是 $P$ 在 $E$ 中。
\item 根据内点的定义，存在 $P$ 的邻域 $U(P)$, 这个邻域中有无穷多个点在 $E$ 中。
\item 根据聚点的定义，$P$ 不是 $E^c$ 的聚点。
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
4. 根据内点的定义，存在 $P$ 的邻域 $U(P)$, 这个邻域中的所有点都在 $E$ 中。

}

\vspace{0.2cm}

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\item  %Problem 04
设 $F_1,F_2$ 是 $\mathbb{R}$ 中的两个互不相交的闭集。证明存在两个互不相交的开集 $G_1,G_2$ 可以分别覆盖这两个闭集，即 $F_1\subseteq G_1, F_2\subseteq G_2$. 举例说明存在两个闭集互不相交，但是距离为零。

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item 对任意 $P\in F_1$, 因为 $P\notin F_2$ 以及 $F_2$ 是闭集，可得 $d(P,F_2)>0$. 
\item 如果 $d(P,F_2)=0$, 那么存在 $F_2$ 中的点列 $P_n$, 使得 $d(P,P_n)\to 0$. 这样 $P$ 就成了 $F_1$ 的聚点。
\item 因为 $F_2$ 是闭集，所以 $F_2$ 的聚点都在 $F_2$ 中。所以 $P\in F_2$. 这与 $F_1\cap F_2=\varnothing$ 矛盾。
\item 对每个 $P\in F_1$, 取半径为 $\frac{1}{2}d(P,F_2)$ 的邻域。所有这些邻域的并集 $G_1$ 是个开集。
\item 同样对每个 $Q\in F_2$, 取半径为 $\frac{1}{2}d(Q,F_1)$ 的邻域。所有这些邻域的并集 $G_2$ 是个开集。
\item 使用距离的三角形不等式，可证 $G_1\cap G_2 = \varnothing$. 
\item  例子：取 $F_1=\cup_{n=4}^{\infty} [n-\frac{1}{3},n-\frac{1}{n}]$ 与 $F_1=\cup_{n=4}^{\infty} [n+\frac{1}{n},n+\frac{1}{3}]$. 
%另一个闭集也是一些闭区间的并集，距离越来越近。
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
2. 如果 $d(P,F_2)=0$, 那么存在 $F_2$ 中的点列 $P_n$, 使得 $d(P,P_n)\to 0$. 这样 $P$ 就成了 $F_2$ 的聚点。

}

\vspace{0.2cm}

\newpage
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\item  %Problem 05
证明%：%任意多个闭集的交集仍是闭集，
有限多个闭集的并集仍是闭集。
举例说明任意多个闭集的并集不一定是闭集。

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item 设 $F_1,F_2,\cdots,F_n$ 是闭集。记 $F=F_1\cup F_2\cup\cdots\cup F_n$. 设 $P$ 是 $F$ 的一个聚点。要证 $P\in F$. 
\item 对每个正整数 $k$, 邻域 $U(P,\frac{1}{k})$ 含有 $F$ 的无穷多个点。
\item 因此存在 $1\le i(k)\le n$, 使得邻域 $U(P,\frac{1}{k})$ 含有 $F_{i(k)}$ 的无穷多个点。
\item 存在 $1\le m\le n$, 这个 $m$ 在 $i(1),i(2),\cdots,i(k),\cdots$ 中出现了有限多次。
\item 因为 $P$ 的任意邻域 $U(P)$ 都含有 $F_m$ 的无穷多个点，所以 $P$ 是 $F_m$ 的聚点。
\item 因为 $P$ 是 $F_m$ 的聚点，以及 $F_m$ 是闭集，所以 $P\in F_m$. 
\item 例子：每个 $F_n=[\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}]$ 都是闭集，但是 $\cup_{n=1}^{\infty} F_n =(0,1)$ 不是闭集。
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
4. 存在 $1\le m\le n$, 这个 $m$ 在 $i(1),i(2),\cdots,i(k),\cdots$ 中出现了无穷多次。

}

\vspace{0.2cm}

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\item  %Problem 06
证明直线上的任意非空开集都可以写成有限个或可数个互不相交的开区间的并集。

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item  设 $G\subseteq \mathbb{R}$ 是非空开集。
\item  设 $x\in G$. 根据开集的定义，$x$ 是 $G$ 的内点。
\item  根据内点的定义，存在 $\delta>0$, 使得 $(x-\delta,x+\delta)\subseteq G$. 
\item  记 $\alpha=\sup\{a: (a,x]\subseteq G\}$ 和 $\beta=\inf\{b: [x,b)\subseteq G\}$, 则 $(\alpha,\beta)\subseteq G$. 
\item  若 $\alpha\in G$, 则因为 $G$ 是开集，所以 $\alpha$ 是 $G$ 的内点，从而存在 $\delta>0$, 使得 $(\alpha-\delta,\alpha+\delta)\subseteq G$. 
\item  因为 $(\alpha,x]\subseteq G$, 以及 $(\alpha-\delta,\alpha+\delta)\subseteq G$, 所以 $(\alpha-\delta,x]\subseteq G$, 这与 $\alpha$ 的定义矛盾。
\item  所以 $\alpha\notin G$. 同样可得 $\beta\notin G$. 所以 $(\alpha,\beta)$ 是 $G$ 的一个构成区间。 
\item  若 $(\alpha,\beta)=G$, 则证毕。若  $(\alpha,\beta)\subsetneq G$, 则记 $G_1=G-[\alpha,\beta]$, 重复上述过程。
\item  因为每个开区间里都有有理数，而有理数集是可数集，所以 $G$ 的构成区间为有限个或可数个。
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
4. 记 $\alpha=\inf\{a: (a,x]\subseteq G\}$ 和 $\beta=\sup\{b: [x,b)\subseteq G\}$, 则 $(\alpha,\beta)\subseteq G$. 

}

\vspace{0.2cm}

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\item  %Problem 07
%什么是康托尔三分集？
证明康托尔集是一个完备集、疏朗集、测度为零、但是基数仍为 $\aleph$. 

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item 康托尔集 $K$ 是 $[0,1]$ 去掉开区间 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})$, $(\frac{1}{9}, \frac{2}{9})$, $(\frac{7}{9}, \frac{8}{9})$, $\cdots$ 后剩下的部分。所以它是闭集。
\item  因为去掉的开区间中，任意两个开区间都没有公共端点，所以 $K$ 没有孤立点。
\item  因为 $K$ 的每个点的每个邻域里，都有 $K$ 的点，所以 $K$ 的点都是 $K$ 的聚点。
\item  因为 $K$ 是自密的闭集，所以 $K$ 是完备集。
\item  康托尔集是一列闭集 $F_n$ 的交集，其中 $F_1=[0,1]$, $F_2=[0,\frac{1}{3}]\cup [\frac{2}{3},1]$, $\cdots$. 
\item  因为 $K$ 不包含任意区间，所以 $K$ 没有内点，所以是疏朗集。
\item  因为去掉的开区间的总长度为1，所以康托尔集的测度为零。
\item  用三进制小数表示，康托尔集的每个点正好是不含有数字1的那些小数。
\item  因为可以建立康托尔集与区间 $[0,1]$ 之间的一一对应，所以它们的基数相等。

\end{enumerate}

{\color{red}解答：
3. 因为 $K$ 的每个点的每个邻域里，都有 $K$ 的不同于这个点的点，所以 $K$ 的点都是 $K$ 的聚点。

}

\vspace{0.2cm}

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\item  %Problem 08
计算 Cantor 集、Koch 曲线和 Sierpinski 地毯的 Hausdorff 维数。

%证明：
\begin{enumerate}[label={\arabic*.}]
\item 设一个图形可以分成 $N$ 个相等的部分，每个部分在线性尺度上都是原来的图形的 $\frac{1}{m}$, 那么定义这个图形的 Hausdorff 维数为 $\log_mN$. 
\item 康托尔集可以分成 $N=3$ 部分，每部分的尺度是原来的 $\frac{1}{m}=\frac{1}{2}$. 所以维数为 $\log_32$. 
\item 科赫曲线可以分成 $N=4$ 部分，每部分的尺度是原来的 $\frac{1}{m}=\frac{1}{3}$. 所以维数为 $\log_34$. 
\item 谢尔平斯基地毯可以分成 $N=8$ 部分，每部分的尺度是原来的 $\frac{1}{m}=\frac{1}{3}$. 所以维数为 $\log_38$. 
\end{enumerate}

{\color{red}解答：
2. 康托尔集可以分成 $N=2$ 部分，每部分的尺度是原来的 $\frac{1}{m}=\frac{1}{3}$. 所以维数为 $\log_32$. 

}

\vspace{0.2cm}



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\end{enumerate}


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\end{document}

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